考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编11 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A、B、A+B、A—1+B—1均为n阶可逆方阵，则(A—1+B—1)—1= A．A—1+B—1 B．A+B
C．A(A+B)—1B D．(A+B)—1
正确答案：C
解析：由(A—1+B—1)[A(A+B)—1B]=(E+B—1A)(A+B)—1B—B—1(B+A)(A+B)—1B=B—1B=E，或A(A+B)—1B=[B—1(A+B)A—1]—1=(B—1AA—1+B—1BA—1)—1=(B—1+A—1)—1=(A—1+B—1)—1即知只有(C)正确． 知识模块：矩阵
2． 设n维行向量α=()，矩阵A=I—αTα，B=I+2αTα，其中I为n阶单位矩阵，则AB
A．O． B．一I． C．I．
D．I+αTα．
正确答案：C
解析：AB=(I一αTα)(I+2αTα)=I+2αTα—αTα一2αTααTα=I+αTα一2αT(ααT)α．而ααT+．故得AB=I． 知识模块：矩阵
3． 设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有 A．a=b或a+2b=0． B．a=b或a+2b≠0。 C．a≠b且a+2b=0． D．a≠b且a+2b≠0．
正确答案：C
解析：由r(A*)=1，知A*至少有一个元素Aij=(一1)i+1Mij≠0．其中Mij为A的(i，j)元素的余子式即A的一个2阶子式，故r(A)≥2，又由0=｜A*｜=｜A2｜．知｜A｜=0，故得，r(A)=2．由0=｜A｜=(a+2b)(a一b)2，得a=b或a+2b=0，若a=b．则显然有r(A)≤1，与r(A)=2矛盾，故a≠b且a+2b=0． 知识模块：矩阵
4． 设矩阵B=，已知矩阵A相似于B，则秩(A一2E)与秩(A—E)之和等于
A．2． B．3． C．4． D．5．
正确答案：C
解析：由条件知存在可逆矩阵P．使P—1AP=
B．故有P—1(A一2E)P=P—1AP—2E=B一2E=，P—1(A—E)P=B—E=，利用相似矩阵有相同的秩．得r(A一2E)+r(A—E)==3+1=4． 知识模块：矩阵
5． 设其中A可逆，则B—1等于 A．A—1P1P2 B．P1A—1P2 C．P1P2A—1 D．P2A—1P1
正确答案：C
解析：利用初等变换与初等矩阵的关系．可得B=AP2P1．故B—1=P—1P—1A—1=P1P2A—1． 知识模块：矩阵
6． 设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵．若a1，a2，a3为三个相等的正数，则a11为
A． B． C． D．
正确答案：A
解析：由比较A*=AT对应元素知a=A，(i，j=1，2，3)，其中A，为｜Aij｜中aij的代数余子式，利用行列式按行展开法则得｜A｜=a1j2=3a112＞0．又由A*=AT两端取行列式得｜A｜2=｜A｜，→｜A｜=1，故得3a112=1，a11=． 知识模块：矩阵
填空题
7． 设则秩(AB)=_________．
正确答案：2
解析：秩(AB)=秩(A)=2． 知识模块：矩阵
8． 设B≠O满足BA=O，则t=_________．
正确答案：t=一3．
解析：BA=O且B≠O时，必有｜A｜=0． 知识模块：矩阵
9． 设矩阵B满足A2一AB=2B+4E，则B=_________．
正确答案：
解析：B=(A+2E)—1(A2一4E)=(A+2E)—1(A+2E)(A一2E)=A一2E= 知识模块：矩阵
10． 设n(n≥3)阶方阵的秩为n一1，则a=_________．
正确答案：
解析：r(A)=n一1→｜A｜=[1+(n—1)a](1一a)n—1≠0→a=或a=1而当a=1时，有r(A)=1；而当a=时，有r(A)=n一1． 知识模块：矩阵
11． 设的伴随矩阵为A*，且A*BA=2BA一8E．则矩阵B=_________．
正确答案：
解析：B=8(2E—A*)—1A—1=8[A(2E—A*)—1=8(2A—AA*)—1=8(2A—｜A｜E)—1=8(2A+2E)=4(A+E)—1=． 知识模块：矩阵
12． 设n≥2为正整数，则An一2An—1=_________．
正确答案：O
解析：因A2=2A，故当n=2时，An一2An+1=A2一2A=O；当n＞2时，An一2An+1=An—2(A2一2A)=An—2O=O，故恒有An一2An—1=O(n≥2)． 知识模块：矩阵
13． 设A、B分别为m阶和n阶方阵，且｜A｜=a，｜B｜=b，则行列式=_________．
正确答案：(一1)mn｜A｜｜B｜
解析：(一1)mnab．可用行列式的拉普拉斯展开法则．或经mn次相邻两列的互换，得 =(一1)mn｜A｜｜B｜． 知识模块：矩阵
14． 设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_________．
正确答案：O
解析：0．当r(A4×4)=2时，A中3阶子式全为零=>A*=O． 知识模块：矩阵
15． 设A、B均是n阶矩阵，且｜A｜—2，｜B｜=一3，A*为A的伴随矩阵，则行列式｜2A*B—1｜=_________．
正确答案：
解析：｜2A*B—1｜=2n｜A*｜｜B—1｜=2n｜A｜n—1｜B｜—1=一． 知识模块：矩阵
16． 设B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=_________．
正确答案：
解析：E+B=E+(E+A)—1(E—A)，两端左乘E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+E—A=2E→[(E+A)](E+B)=E→(E+B)—1=． 知识模块：矩阵
17． 设α为3维列向量，αT是α的转量．若ααT=，则αTα=_________．
正确答案：3．
解析：设α=，则ααT=故 αTα=a12+a22+a32=1+1+1=3． 知识模块：矩阵
18． 设三阶方阵A、B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则行列式｜B｜=_________．
正确答案： 解析：由题设方程解得(A—E)B=E，两端取行列式，得2｜B=1，故｜B｜=． 知识模块：矩阵
19． 设n维向量α=(a，0，…，0，a)T，a＜0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E一ααT，B=E+ααT，其中A的逆矩阵为B，则a=_________．
正确答案：一1． 解析：由αTα=2a2，及 E=AB=E+ααT一ααT一α(αTα)αT=E+(一1—2a)ααT，得一1—2a=0，→a=一1． 知识模块：矩阵
20． 设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵．已知AB=2A+B，B=，则(A—E)—1=_________．
正确答案：
解析：由题设方程得(A—E)B一2A=O，→(A—E)B一2(A—E)=2E，→(A—E)(B一2E)=2E，→(A—E)—1=． 知识模块：矩阵
21． 设A=，B=P—1AP，其中P为3阶可逆矩阵，则B2004—2A2=_________．
正确答案： 解析：由于A2=，A4=(A2)2=E，A2004=(A4)501=E501=E．故B2004一2A2=P—1A2004P一2A2=E一2A2=． 知识模块：矩阵
22． 设A=(aij)3×3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1，0，0)T，则线性方程组Ax=b的解是_________．
正确答案：
解析：由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故A=，又A—1=AT，故方程组Ax=b的解为x=A—1b=ATb=． 知识模块：矩阵
23． 已知α1，α2均为2维向量，矩阵A=[2α1+α2，α1—α2]，β=[α1，α2]，若行列式｜A｜=6，则｜B｜=_________。
正确答案：一2． 解析：A=[2α1—α2，α1—α2]=[α1，α2]．两端取行列式，得 A=｜B｜(一3)．因｜A｜=6．得｜B｜=一2． 知识模块：矩阵
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
24． 设A、B都是n阶方阵，且A2=E，B2=E，｜A｜+｜B｜=0，证明：｜A+B｜=0．
正确答案：由条件知｜A｜=±1，｜B｜=±1，且｜A｜=一｜B｜→｜A｜｜B｜=一1。故｜A+B｜=｜AE+EB｜=｜AB2+A2B｜=｜A(B+A)B｜=｜A｜｜B+A｜｜B｜=一｜A+B｜→｜A+B｜=0． 涉及知识点：矩阵
设
25． 求An(n=2，3，…)；
正确答案：A2=4E．故A2k=(A2)k=(4E)k=4kE，A2k+1=A2kA=4kA(k=1，2，…)． 涉及知识点：矩阵
26． 若方阵B满足A2+AB一A=E，求矩阵 B．
正确答案：由A2=4E→A—1=A．B=A—1(E—A—A2)=A—1+E—A=。 涉及知识点：矩阵
27． 设A、B均为n阶方阵，且满足AB=A+B，证明A一E可逆，并求(A—E)—1．
正确答案：(A—E)(B—E)=E→(A—E)—1=B—E． 涉及知识点：矩阵
28． 没A为m×n矩阵，证明：r(A)=n→存在n×m矩阵C，使得CA=E。
正确答案：若r(A)=n，则存在可逆矩阵Pn×m及Qn×n，使PAQ=为A的秩标准形→PA=，两端左乘[Q O]，得[Q O]PA=En，故C=[Q 0]P，使得CA=En。反之，若存在Cn×m，使得CA=En，则n=r(En)=r(CA)≤r(A)≤r(A)=n． 涉及知识点：矩阵
29． 设A=(aij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X．都有XTAX=0→A为反对称矩阵．
正确答案：必要性：取X=εj=(0，…，0，1，0，…，0)T(第j个分量为1，其余分量全为零的n维列向量)，则由0=εjTAεj=ajj，及i≠j时，有0=(εi+εj)TA(εi+εj)=εiTAεi+εiTAεj+εjTAεi+εjTAεj=0+aij+aji+0=aij+aji，可知A为反对称矩阵．充分性：若AT=一A，则XTATX=一XTAX，又XTATX为1阶方阵．其转置不变，因而有XTATX=(XTATX)T=XTAX→XTAX=一XTAX→2XTAX=0→XTAX=0． 涉及知识点：矩阵
30． 设实方阵A=(aij)1×4满足：(1)aij=Aij(i，j=1，2．3，4．其中Aij为aij的代数余子式)：(2)a11≠0．求｜A｜．
正确答案：｜A｜=1． 涉及知识点：矩阵
31． 设A*是A3×3的伴随矩阵，｜A｜=．求行列式｜(3A)—1一2A*｜的值．
正确答案：由A*=｜A｜A—1=A—1，及｜A—1｜==2，得｜(3A)—1一2A*｜=． 涉及知识点：矩阵
32． 设A*为A的伴随矩阵．矩阵B满足A*B=A—1+2 B．求 B．
正确答案：利用AA*=｜A｜E=4E，用A左乘方程两端，得4B=E+2AB，→(4E一2A)B=F，→B=(4F一2A)—1=． 涉及知识点：矩阵
33． 设3阶矩阵A的逆阵为A—1=A*为A的伴随矩阵，求(A*)—1．
正确答案：(A*)—1=A=｜A—1｜(A—1)—1=． 涉及知识点：矩阵
设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量．b为常数．记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵．
34． 计算并化简PQ；
正确答案：PQ=． 涉及知识点：矩阵
35． 证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA—1α≠b．
正确答案：由(1)得 ｜PQ｜=｜A｜2(b一α—1A—1α)，而 ｜PQ｜=｜P｜｜Q｜．且由条件知 P｜=｜A｜≠0→｜Q｜=｜A｜(b一αTA—1α)，因而Q可逆→｜Q｜≠0→b≠αTA—1α． 涉及知识点：矩阵
36． 已知矩阵且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E足3阶单位阵．求X．
正确答案：由题设等式得(A—B)X(A—B)=E．故1=． 涉及知识点：矩阵
X=(A—B)—1(A—B)—
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