2019-2020学年江苏省无锡市宜兴市九年级(上)期末数学试卷 (解析版)

一、选择题（共10小题）.

1．（3分）方程(x1)24的解为( ) A．x11，x23 B．x11，x23

C．x12，x22 D．x11，x21

2．（3分）抛物线y(x2)21的顶点坐标是( ) A．(2,1)

B．(2,1)

C．(2,1)

D．(2,1)

3．（3分）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是( ) A．20cm2

B．20cm2

C．15cm2

D．15cm2

4．（3分）在半径为2的圆中，120的圆心角所对的弧长是( ) A．

2 3B．

4 3C．2 D．

3 25．（3分）一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是( ) A．极差是20

B．平均数是90

C．众数是98

D．中位数是98

6．（3分）已知O的半径是3，直线l是O的切线，P是l上的任一点，那么( ) A．0OP3

B．OP3

C．OP3

D．OP3

7．（3分）以下命题：①每条直径都是所在圆的对称轴；②长度相等的弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④圆内接四边形对角互补．其中真命题的个数是( ) A．0

B．1

C．2

D．3

8．（3分）如图，将ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ABC，连接BB、CC，已知ABc，ACb，BCa，则BB:CC等于( )

A．c:b

B．a:b

C．c:a

D．b:c

9．（3分）如图，正方形ABCD边长为3，且MBN45，作MEABM、N在对角线AC上，于点E，NFBC于点F，反向延长ME、NF交于点G，则GEGF的值是( )

A．3

B．33

C．32

D．

9 210．（3分）已知抛物线yax2bxc(a、b、c是常数，a0)经过点A(1,0)、B(3,0)，顶点为C，则下列说法正确的个数是( ) ①当1x3时，ax2bxc0； 1②当ABC是直角三角形，则a；

2③若mxm3时，二次函数yax2bxc的最大值为am2bmc，则m3． A．0

B．1

C．2

D．3

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

11．（2分）若关于x的一元二次方程x23xm0有一个解为x1，则m的值为 ． 12．（2分）如果

aa3，则 ． bba13．（2分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 ． 14．（2分）在同一时刻，直立在地上的6米高的大树的影长是4.5米．附近有一幢大楼的影长是18米，则这栋大楼的高是 米．

15．（2分）已知二次函数ykx23x3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ． 16．（2分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第18秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．

17．（2分）如图，RtABC，ABC90，ABBC2，现将RtABC绕点A逆时针旋转30得到AED，则图中阴影部分的面积是 ．

18．（2分）在平面直角坐标系中，点A、B、C坐标分别为(0,1)、(0,5)、(3,0)，D是平面内一点，且ADB45，则线段CD的最大值是 ． 三、解答题（共84分） 19．（8分）解方程 （1）x26x50； （2）2(x1)23x3．

20．（8分）如图，平行四边形ABCD中，E是边AD的中点． （1）写出图中的一对相似三角形，并给出证明； （2）若BF63，求BD的长．

21．（8分）市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）: 甲 乙 第1次 10 10 第2次 9 10 第3次 8 8 第4次 8 10 第5次 10 7 第6次 9 9 （1）根据表格中的数据，分别计算出甲、乙两人的平均成绩； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；

（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由． 22．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2(2k1)xk0． （1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．

23．（8分）我市要选拔一名教师参加省级评优课比赛：经笔试、面试，结果小潘和小丁并列第一，评委会决定通过摸球来确定人选．规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个蓝球，小潘先取出一个球，记住颜色后放回，然后小丁再取出一个球．若两次取出的球都是红球，则小潘胜出；若两次取出的球是一红一蓝，则小丁胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．

24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2bxc的图象与x轴，y轴的

交点分别为(1,0)和(0,3)． （1）求此二次函数的表达式；

（2）结合函数图象，直接写出当y3时，x的取值范围．

25．（10分）如图，AB是O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE6，连接DB，B30，过点E作EM//BD，交BA的延长线于点M．

（1）求O的半径；

（2）求证：EM是O的切线；

（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当APD45时，求图中阴影部分的面积．

26．（8分）某批发商以50元/千克的成本价购入了某产品800千克，他随时都能一次性卖出这种产品，但考虑到在不同的日期市场售价都不一样，为了能把握好最恰当的销售时机，

该批发商查阅了上年度同期的经销数据，发现： ①如果将这批产品保存5天时卖出，销售价为80元； ②如果将这批产品保存10天时卖出，销售价为90元；

③该产品的销售价y（元/千克）与保存时间x（天)之间是一次函数关系； ④这种产品平均每天将损耗10千克，且最多保存15天； ⑤每天保存产品的费用为100元．

根据上述信息，请你帮该批发商确定在哪一天一次性卖出这批产品能获取最大利润，并求出这个最大利润．

27．（10分）如图，ABC中．

（1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足PB2PC2BC2的所有点P构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC、BC距离相等的点P．（作图必须保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接BP，若BC15，AC14，AB13，求BP的长．

28．（10分）如图，抛物线yax25axc(a0)与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DHx轴于点H，延长DH交B的左侧）

AC于点E，且SABD:SACB9:16，

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若DBH与BEH相似，试求抛物线的解析式．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）方程(x1)24的解为( ) A．x11，x23 B．x11，x23 解：(x1)24， x12，

C．x12，x22 D．x11，x21

则x12，x12， x11，x23，

故选：A．

2．（3分）抛物线y(x2)21的顶点坐标是( ) A．(2,1) 解：

B．(2,1)

C．(2,1)

D．(2,1)

y(x2)21是抛物线的顶点式，

抛物线的顶点坐标为(2,1)．

故选：B．

3．（3分）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是( ) A．20cm2

B．20cm2

C．15cm2

D．15cm2

解：圆锥的侧面积235215． 故选：D．

4．（3分）在半径为2的圆中，120的圆心角所对的弧长是( ) A．

2 3B．

4 3C．2 D．

3 2解：在半径为2的圆中，120的圆心角所对的弧长是 lnr12024． 1801803故选：B．

5．（3分）一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是( )

A．极差是20 B．平均数是90 C．众数是98 D．中位数是98

解：将数据从小到大排列为：78，85，91，98，98， A、极差为987820，说法正确，故本选项不符合题意；

1B、平均数是(7885919898)90，说法正确，故本选项不符合题意；

5C、众数是98，说法正确，故本选项不符合题意；

D、中位数是91，说法错误，故本选项符合题意；

故选：D．

6．（3分）已知O的半径是3，直线l是O的切线，P是l上的任一点，那么( ) A．0OP3

B．OP3

C．OP3

D．OP3

解：当点P为直线l与O的切点时，连接OP， 则OP直线l， OP3，

根据垂线段最短可知，OP的最小值时3，

OP3，

故选：D．

7．（3分）以下命题：①每条直径都是所在圆的对称轴；②长度相等的弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④圆内接四边形对角互补．其中真命题的个数是( ) A．0

B．1

C．2

D．3

解：①每条直径所在的直线都是所在圆的对称轴，原命题是假命题； ②在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题； ③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题； ④圆内接四边形对角互补，是真命题； 故选：B．

8．（3分）如图，将ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ABC，连接BB、CC，已知ABc，ACb，BCa，则BB:CC等于( )

A．c:b

B．a:b

C．c:a

D．b:c

解：将ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ABC， ABAB，ACAC，CACBAB， ACCACCABBABB， ACC∽ABB，

BB:CCAB:ACc:b，

故选：A．

9．（3分）如图，正方形ABCD边长为3，且MBN45，作MEABM、N在对角线AC上，于点E，NFBC于点F，反向延长ME、NF交于点G，则GEGF的值是( )

A．3

B．33

C．32

D．

9 2解：如图所示，过M作MQBC于Q，过N作NPAB于P，则 RtAPN中，AN2PN2EG，

RtCMQ中，CM2MQ2GF，

正方形ABCD中，AC是对角线， BANMCB45，

又MBN45，

ABNABM45CMB， ABN∽CMB，



ABAN，即CMANABCB， CMCB2GF2EG9，即2GFEG9，

GEGF的值是

9， 2故选：D．

10．（3分）已知抛物线yax2bxc(a、b、c是常数，a0)经过点A(1,0)、B(3,0)，顶点为C，则下列说法正确的个数是( ) ①当1x3时，ax2bxc0； 1②当ABC是直角三角形，则a；

2③若mxm3时，二次函数yax2bxc的最大值为am2bmc，则m3． A．0

B．1

C．2

D．3

解：抛物线yax2bxc(a、b、c是常数，a0)经过点A(1,0)、B(3,0)， 该抛物线开口向下，对称轴为x①正确；

131，抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B 2点C为抛物线的顶点，

当ABC是直角三角形时，此三角形为等腰直角三角形

对称轴x1与x轴的交点将ABC分成两个全等的等腰直角三角形，其直角边长为

AB2 2此时点C坐标为：(1,2)

设yax2bxca(x1)22 将A(1,0)代入得：04a2

1a

2故②正确；

对称轴为x1，a0

当x1时，二次函数yax2bxc的函数值随着x的增大而增大 ③中m1即可，故③错误．

综上，正确的有①② 故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

11．（2分）若关于x的一元二次方程x23xm0有一个解为x1，则m的值为 4 ． 解：把x1代入方程x23xm0得13m0， 解得m4． 故答案为4． 12．（2分）如果解：

a3， baa33，则  ． bba2a3b， 

a3b3； bab3b23故答案为：．

213．（2分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 x(x1)1640 ．

解：根据题意得：每人要赠送(x1)张相片，有x个人， 全班共送：(x1)x1640，

故答案为：(x1)x1640．

14．（2分）在同一时刻，直立在地上的6米高的大树的影长是4.5米．附近有一幢大楼的影长是18米，则这栋大楼的高是 24 米． 解：设大楼的高约为x米， 

x6， 184.5解得x24． 故答案为24．

15．（2分）已知二次函数ykx23x3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为 k且k0 ．

解：二次函数ykx23x3的图象与x轴有两个交点， 当y0时，0kx23x3有两个不等的实数根，

34k0， 2(3)4k30解得，k3且k0， 43且k0． 4故答案为：k16．（2分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第18秒时，点E在量角器上对应的读数是 144 度．

解：连接OE，

射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转， 第18秒时，ACE41872，

ACB90，

点C在以AB为直径的圆上，

即点C在O上，

EOA2ECA272144．

故答案为144．

17．（2分）如图，RtABC，ABC90，ABBC2，现将RtABC绕点A逆时针旋转30得到AED，则图中阴影部分的面积是 2232 ． 3

解：作FHAD于H，如图， ABC90，ABBC2，

BACACB45，AC2AB22，

RtABC绕点A逆时针旋转30得到AED，

ADAC22，CAD30，ADEACB45，

设FHDHx，

在RtAFH中，AH3FH3x， AHDH22，

3xx22，解得x2(31)，

SAFD1222(31)232， 2图中阴影部分的面积S扇形CADSAFD30(22)22232232．

36032故答案为232．

3

18．（2分）在平面直角坐标系中，点A、B、C坐标分别为(0,1)、(0,5)、(3,0)，D是平面内一点，且ADB45，则线段CD的最大值是 3422 ．

解：点A、B坐标分别为(0,1)、(0,5)， AB4，

作PHAB于H，则AHBH2，取PH2，则PAB为等腰直角三角形， APB90

ADB45，

ADB1APB， 2点D在以P点为圆心，PA为半径的圆上，

线段CD要取最大值， P点在第二象限，P(2,3)，

CDPDPC（当且仅当C、P、D共线时取等号），

CD的最大值为PDPC，

PDPA2AH22，PC(32)23234， CD的最大值为3422．

故答案为3422．

三、解答题（共84分） 19．（8分）解方程 （1）x26x50； （2）2(x1)23x3． 解：（1）

x26x50，

x26x5， x26x959，

(x3)214，

解得：x314， x1314，x2314．

（2）2(x1)23x3，

2(x1)23(x1)，

(x1)(2x23)0， x10，2x230，

x11，x25． 220．（8分）如图，平行四边形ABCD中，E是边AD的中点． （1）写出图中的一对相似三角形，并给出证明； （2）若BF63，求BD的长．

解：（1）DEF∽BCF

平行四边形ABCD中，AD//BC， DEFBCF，EDFCBF， DEF∽BCF．

（2）平行四边形ABCD中，ADBC， E是AD的中点． DE

11ADBC， 22DE1， BC2DEF∽BCF，BF63 

DEDF1， BCBF2DF33

BD336393．

21．（8分）市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）: 甲 乙 第1次 10 10 第2次 9 10 第3次 8 8 第4次 8 10 第5次 10 7 第6次 9 9 （1）根据表格中的数据，分别计算出甲、乙两人的平均成绩； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；

（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由． 解：（1）甲：(10898109)69， 乙：(107101098)69；

（2）s2_甲

12(110110)； 63s2_乙

14(141101)； 63

（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适． 22．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2(2k1)xk0． （1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围． 解：（1）由题意，得△(2k1)28k

(2k1)2 (2k1)20，

方程总有两个实数根．

1（2）由求根公式，得x1，x2k．

2方程有一个根是正数， k0． k0

23．（8分）我市要选拔一名教师参加省级评优课比赛：经笔试、面试，结果小潘和小丁并列第一，评委会决定通过摸球来确定人选．规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个蓝球，小潘先取出一个球，记住颜色后放回，然后小丁再取出一个球．若两次取出的球都是红球，则小潘胜出；若两次取出的球是一红一蓝，则小丁胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析． 解：画树状图为：

由此可知，共有9种等可能的结果，其中两红球及一红一蓝各有4种结果， P（都是红球）44，P(1红1蓝）， 99， P（都是红球）P(1红1蓝）这个规则对双方是公平的

24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2bxc的图象与x轴，y轴的

交点分别为(1,0)和(0,3)． （1）求此二次函数的表达式；

（2）结合函数图象，直接写出当y3时，x的取值范围．

解：（1）抛物线yx2bxc与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0,3)， 1bc0b2，解得：． c3c3抛物线的表达式为：yx22x3．

（2）当y3时，x的取值范围是x2或x0．

25．（10分）如图，AB是O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE6，连接DB，B30，过点E作EM//BD，交BA的延长线于点M．

（1）求O的半径；

（2）求证：EM是O的切线；

（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当APD45时，求图中阴影部分的面积．

解：（1）连结OE， DE垂直OA，B30， CE1DE3，ADAE， 2AOE2B60，

1CEO30，OCOE，

2由勾股定理得OE23； （2）EM//BD，

MB30，MAOE90， OEM90，即OEME，

EM是O的切线；

（3）再连结OF，

当APD45时，EDF45， EOF90，

11S阴影(23)2(23)236．

42

26．（8分）某批发商以50元/千克的成本价购入了某产品800千克，他随时都能一次性卖出这种产品，但考虑到在不同的日期市场售价都不一样，为了能把握好最恰当的销售时机，该批发商查阅了上年度同期的经销数据，发现： ①如果将这批产品保存5天时卖出，销售价为80元； ②如果将这批产品保存10天时卖出，销售价为90元；

③该产品的销售价y（元/千克）与保存时间x（天)之间是一次函数关系； ④这种产品平均每天将损耗10千克，且最多保存15天； ⑤每天保存产品的费用为100元．

根据上述信息，请你帮该批发商确定在哪一天一次性卖出这批产品能获取最大利润，并求出这个最大利润．

解：由题意可求得y2x70；

设保存x天时一次性卖出这批产品所获得的利润为w元，则， w(80010x)(2x70)100x50800， 20x2800x16000，

20(x20)224000，

0x15，

x15时，w最大23500，

答：保存15天时一次性卖出能获取最大利润，最大利润为23500元．

27．（10分）如图，ABC中．

（1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足PB2PC2BC2的所有点P构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC、BC距离相等的点P．（作图必须保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接BP，若BC15，AC14，AB13，求BP的长．

解：（1）如图所示，即为所求作的图形；

（2）由（1）作图，设O与AC的交点为H，连接BH， BHC90

BC15，AC14，AB13

设AHxHC14x，

BH2132x2152(14x)2，

解得：x5，

AH5，BH12．

连接OP，由（1）作图知， CP平分BCA， PCABCP，

又OPOC OPCBCP， OPCPCA，

OP//CA， OPBH 与点Q，

BQ1BH6， 215， 2 又BOOQ9， 2PQ3， BP35．

答：BP的长为35．

28．（10分）如图，抛物线yax25axc(a0)与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DHx轴于点H，延长DH交B的左侧）

AC于点E，且SABD:SACB9:16，

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若DBH与BEH相似，试求抛物线的解析式．

解：（1）ya(x25x2525525)aca(x)2ac， 4424525D(,ac)；

24C(0,c)， OCc，DH25ac， 4SABD:SACB9:16， 

DH25(ac);(c)9:16，c4a， OC4yax25ax4aa(x1)(x4)，

A(4,0)，B(1,0)；

（2）EH//OC， AEH∽ACO，

EHAH OCAOEH1.5，EH1.5a； 4a4DH2.25aEH，

DBH与BEH相似， BDHEBH，

又BHDBHE90， DBH∽BEH，ayDHBH2.25aBH，， BHEHBH1.5a6（舍去正值） 3625646． xx333