深圳大学课程教学大纲

深圳大学数学与计算科学学院

课程教学大纲

（2007年3月修订版）

课程编号：

课程名称： 近世代数

课程类别： 专业选修

教材名称： 简明抽象代数

制 订 人： 方楚泽

修 订 人： 王晓峰

2005年 4 月制订

一、课程设计的指导思想

（一）课程性质 1. 课程类别：专业选修课 2. 适应专业：数学与应用数学专业 3. 开设学期：第六学期 4. 学时安排：周学时3，总学时54 5. 学分分配：3学分 （二）开设目的 《近世代数》是大学数学专业（数学系）的一门重要的课程，也是计算数学，信息科学，统计学，应用科学等专业的重要课程。其主要任务是使学生获得数学的抽象思维方法和群、环、域等代数系统的系统知识。近世代数为现代数学、现代物理学、现代化学、现代通信、计算机科学以及密码学等提供了语言、重要结论和研究方法。在当今信息时代，近世代数已有了越来越多的应用。 （三）基本要求 通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对群、环、域等方面的系统知识及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解近世代数的基本概念和论证方法及提高抽象思维的能力。 （四）主要内容 包括群、环、域。 （五）先修课程 高等代数 （六）后继课程 代数方向专业课程 （七）考核方式 闭卷考试 （八）使用教材 顾沛, 邓少强. 简明抽象代数[M]. 北京: 高等教育出版社，2003年, 第一版. （九）参考书目 （1）张禾瑞. 近世代数基础[M]. 北京: 高等教育出版社，1978年, 第一版. （2）李超, 谢瑞强. 代数学基础[M]. 北京: 国防科技大学出版社，2003年, 第一版. 二、教学内容

第一章 群 教学目的 群是一类重要的代数系统，它是自然科学许多领域的理论基础，在应用科学领域中也有广泛的应用. 本章的目的是让学生对群的概念、 性质及研究方法有一个初步的了解，同时锻炼抽象思维能力，培养逻辑推理能力. 主要内容 第一节 运算及关系 第二节 半群与群 第三节 子群与商群 第四节 群的同态与同构 第五节 循环群 第六节 变换群与置换群 教学要求 （1）理解代数运算的定义, 理解等价关系的定义, 掌握若干重要的例子; （2）理解群的定义及其若干等价定义，能判断一个代数系统是否为群, 掌握构造群的乘法表的方法, 会对元的阶进行讨论； （3） 理解陪集的概念, 理解子群和正规子群的概念、了解商群及同态核的概念，了解子群的指数的概念, 会用Lagarange’s定理, 了解并会用群的同态基本定理； （4）掌握循环群的结构, 会计算其生成元； （5）理解置换群的概念，熟练掌握置换的两种表示法. 第二章 环 教学目的 环是另一个重要的代数系统，它在编码理论、计算机科学和时序机的研究中有许多重要应用. 本章的目的是让学生对环的概念、性质及研究方法有一个初步的了解，同时锻炼抽象思维能力，培养逻辑推理能力. 主要内容 第一节 环、子环和商环 第二节 环的同态基本定理 第三节 素理想与极大理想 第四节 唯一析因环 第五节 主理想整环 第六节 欧氏环 教学要求 （1）理解和掌握环的定义，了解左、右零因子的概念，能判断一个代数系统是否为环； （2）理解子环和理想的概念，了解商环及同态核的概念，会用环的同态基本定理； （3）了解素理想与极大理想概念，理解整环的概念；

（4）理解唯一析因环和欧氏环的概念、了解主理想环等概念. 第三章 域 教学目的 域是特殊的环，它在编码理论、计算机科学和时序机的研究中有许多重要应用. 本章的目的是让学生对群的概念、性质及研究方法有一个初步的了解，同时锻炼抽象思维能力，培养逻辑推理能力. 主要内容： 第一节 域的单扩张 第二节 域的代数扩张 第三节 多项式的分裂域 教学要求 (1) 理解域的相关概念, 掌握特殊的域的构造, 理解代数元和超越元的概念; (2) 理解扩张的定义, 会构造域的代数扩张; (3) 了解分裂域的概念. 注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。 三、课时分配及其它

（一）课时分配 课程总教学时数为54学时，安排在第六学期，每周3学时，上课18周. 具体分配如下 第一章 群 26学时 第二章 环 18学时 第三章 域 10学时 （二）考核要求 1. 成绩评价 平时成绩（含考勤、作业与测验）占30%，期末（卷面）成绩占70%. 2命题说明 题型应多样化，设计适当的开放性问题. 基本题(主要考查学生对近世代数基本概念、理论与方法的一般理解）、证明题(主要考查学生对近世代数基本理论、基本方法的综合运用能力)各占约1/2. 难易比例控制在15％难、50％适中、35％易之间. 涉及教材章的100％，节的85％，内容70％左右. 试卷采用A、B卷. 注：写明各学期教学总时数及各周学时数。