在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的...

在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的...

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较

锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．

解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0） 设该表达式为：y=a（x+1）（x-3） 将C点的坐标代入得：a=1 所以这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3； （2）方法一：存在，F点的坐标为（2，-3）解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0） 设该表达式为：y=a（x+1）（x-3） 将C点的坐标代入得：a=1 所以这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，-3） 理由：易得D（1，-4）， 所以直线CD的解析式为：y=-x-3 ∴E点的坐标为（-3，0）（6分） 由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴存在点F，坐标为（2，-3）．（7分） 方法二：易得D（1，-4）， 所以直线CD的解析式为：y=-x-3 ∴E点的坐标为（-3，0）（5分） ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴F点的坐标为（2，-3）或（-2，-3）或（-4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，-3）符合 ∴存在点F，坐标为（2，-3）． （3）如图，①当直线MN在x轴上方时， 设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得R= ． ②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为（rr＞0），则N（r+1，-r）， 代入抛物线的表达式， 解得r= ． ∴圆的半径为 或 ．（4） 过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1． 设P（x，x2-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x2+x+2． S△APG=S△APQ+S△GPQ= （-x2+x+2）×3 当x= 时，△APG的面积最大， 此时P点的坐标为（ ，- ），S△APG的最大值为 ． 理由：易得D（1，-4）， 所以直线CD的解析式为：y=-x-3 ∴E点的坐标为（-3，0）（6分） 由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴存在点F，坐标为（2，-3）．（7分） 方法二：易得D（1，-4）， 所以直线CD的解析式为：y=-x-3 ∴E点的坐标为（-3，0）（5分） ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴F点的坐标为（2，-3）或（-2，-3）或（-4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，-3）符合 ∴存在点F，坐标为（2，-3）． （3）如图，①当直线MN在x轴上方时， 设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得R= ． ②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，-r）， 代入抛物线的表达式， 解得r= ． ∴圆的半径为 或 ． （4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1． 设P（x，x2-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x2+x+2． S△APG=S△APQ+S△GPQ= （-x2+x+2）×3 当x= 时，△APG的面积最大， 此时P点的坐标为（2，-3）．），S△APG的最大值为