基金最佳使用计划的模型

基金最佳使用计划的模型

电信系

戴文滨 苏茂峰 陈仓斌

摘要

本文是一篇关于基金的使用计划模型。在现实经济高速发展的背景下，人们越来越清醒的意识到:一个合理的数学应用模型对于现今生产、投资、规划等实际应用项目的重要性。

本文通过分析，把求基金最佳使用方案问题转化为求n年所得利息最大时的基金配置问题，在求最大利息的过程中，我们将投入项目不同期限看成不同的投资项目，收益高的优先得到资金。因此，在满足每年都能发下相同奖学金的前提下，应将尽可能多的基金存入尽可能长的时间，根据这种思想建立了目标函数。在目标函数的求解过程中，存在不同投资项目方式的组合，我们通过分析计算得出存期在1到10年中的最佳组合方式。

本文给出了基金投资策略的数学模型。对于基金M使用n年的情况而言，首先把基金M分成n份，其中把第i（1≤i≤10）份基金Mi投资期限为i年，那么只有当Mi按最佳投资策略投资i年后的本金与收益金的和作为该年的奖金数，并且把基金Mn按最佳投资策略投资n年后的本金与收益金的和等于当年的奖金数与原基金M之和时，每年发放的奖金数将达到最大值。 通过求解此模型，我们得到了基金的最佳投资策略，并求出了在n=10年，M=100 万元的情况下，基金的最佳使用方案。在可投入到科研上也可投入教学时，通过比较知，将基金只投资教学，将是基金的最佳使用方法;在第四年校庆时奖金数额比其他年多30%的问题分析方法和模型的解决方法与前相同。

关键字：

基金 数学模型 最佳方案

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一、问题重述

某大学获得了一笔数额为M元的基金，打算将其投入到学校教学或科研中。经行家分析，投入到科研上，这笔基金给学校带来的年平均收益情况见下表1（譬如某人或学科组投资到此基金的一部分作为科研经费，投资时间3个月，3个月期满必须归还校基

金会）。

表1：科研基金年平均收益率（%）

种类 3个月 6个月 一年 二年 三年 五年 2.232 收益率（%） 1. 368 1.512 1.584 1.800 2.016 假设投入到教学中，用于建设精品课程，分1年、3年、5年建设课程（建设期满投入全部收回），行家估算，这笔基金给学校带来的平均收益见表2。

种类 一年 三年 五年 2.79 收益率（%） 1.98 2.52 表2：教学基金年平均收益率（%）

校基金会计划在n年内每年用部分收益奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案；并对M=100万元，n=10

年给出具体结果：

1．只投入到科研上不投入到教学中； 2．可投入到科研上也可投入教学中；

3．学校在基金到位后的14年（假如是2019年）要举行建校100周年校庆，基金

会希望这一年的奖金比其它年度多30%

二、模型的假设与分析

原问题存在些不确定因素，比如基金到位的时间，每年奖金的发放日期等。为问题简化，我们给以如下假设：

（1） 该笔基金于年底前一次性到位，自下年起每年年底一次性发放奖金，每年发

放的奖金额为固定的，记为Y。

（2） 投资后再投资收益率不变，即在不同时间投资同一项目相互间不影响。 （3） 对于问题3中，题中14年以超过n年范围，对要求没有产生多大影响，故

应假设为4年。

三、模型的建立与计算

问题一：只投入到科研上不投入到教学中

首先考虑投资不同档次的顺序是否对结果产生影响：设Lm，Lk分别为定期m年和

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k年的年均收益率，则一定数额的基金H先投资m年再投资k年的本金与利润之和为H(1+mLm)(1+kLk); 先投资k年再投资m年的本金与利润之和为H(1+kLk) (1+mLm),根据乘法交换律H(1+mLm)(1+kLk)= H(1+kLk) (1+mLm),则可得如下定理, 定理一：一定数额的基金H先投资m年再投资k年与先投资k年再投资m年的结果是相等。

推论一：一定数额的基金H投资年限n年分成j个年期，n=n1+n2+…+nj,其中ni=(0.25,0.5,1,2,3,5),( i=1,2…j),则n年后本金与利润之和与投资年期种类顺序无关。

然后考虑投资策略的最佳方案：由于三个月及六个月的利润太低，故不给以考虑。设用（i，j）的形式表示投资方案，其中（i，j）表示先投资i年，再投资j年。

表一：科研各种投资方案 科研到期后年科研到期后年 投资方案 最佳投资方案 均最佳收益率均收益率（%） （%） 一年期 （1） 1.584 （1） 1.584 （1，1） 1.597 两年期 1.800 （2） （2） 1.800 （1，1，1） 1.609 三年期 （1，2） 1.747 （3） 2.016 （3） 2.016 （1，1，1，1） 1.622 四年期 （2，2） 1.832 （3，1） 1.932 （3，1） 1.932 （1，1，1，1，1.635 1） （2，2，1） 1.806 五年期 （5） 2.232 （3，2） 1.973 （5） 2.232 （3，3） 2.077 六年期 （5，1） 2.153 （5，1） 2.153 由上表可得，在n<10年，由1，2，3，5四种定期能够组成最佳策略只能有（1），（2），（3），（3，1），（5），（5,1）(5,2),(5,3),(5,3,1)九种，它们分别对应于n=1～9年的最佳投资策略，在n>9年时，最佳投资策略只能是首先重复在[n/5]个定期5年，剩余年限m只能是1，2，3，4，当m=1时，再投资1年定期，当m=2时，再投资2年定期，当m=3时，再投资3年定期，当m=4时，先再投资1年定期然后再投资3年定期。 再然后考虑每年奖金最大的使用方案：把基金M元分成n份，其中把第i（1≤i≤10）份基金Mi投资期限为i年，那么只有当Mi按最佳投资策略投资i年后的本金与收益金的和作为该年的奖金数，并且把基金Mn按最佳投资策略投资n年后的本金与收益金的和等于当年的奖金数与原基金M之和时，每年发放的奖金数将达到最大值。则可列出n=1～10年的等式：

M1(1+1. 584%)=Y M2(1+2×1.8%)=Y

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M3(1+3×2.016%)=Y

M4(1+1.584%)(1+3×2.016%)=Y M5(1+5×2.232%)=Y

M6(1+5×2.232%)(1+1. 584%)=Y M7(1+2×1.8%)(1+5×2.232%)=Y M8(1+3×2.016%)(1+5×2.232%)=Y

M9(1+1.584%)(1+3×2.016%)(1+5×2.232%)=Y M10(1+5×2.232%)(1+5×2.232%)=YM

MiM

i110经计算知，当n=10,M=100万元基金时，投资科研最佳的投资方案的奖金：Y=2.218112万元。

表二：Mi值及其投资i年的最佳投资策略 资金数额（万元） 最佳投资策略 2.183525 （1） M1 2.141035 （2） M2 2.091572 （3） M3 2.140415 （3，1） M4 1.995423 （5） M5 1.964322 (5,1) M6 1.926113 (5,2) M7 0.984471 （5，3） M8 1.852286 （5，3，1） M9 82.720813 （5，5） M10 表三：M=100万元，n=10年投资科研基金使用最佳方案（单位：万元） 投资一年投资二年投资三年投资五年投资到期本每年奖金定期 定期 定期 定期 利和 数额 第一年初 2.183525 2.141035 4.231987 91.443428 第一年末 2.218112 2.218112 第二年末 2.218112 2.218112 第三年末 2.183525 4.487938 2.218112 第四年末 2.218112 2.218112 第五年末 2.183525 2.141035 4.231987 91.952456 102.218112 2.218112 第六年末 2.218112 2.218112 第七年末 2.218112 2.218112 第八年末 2.183525 4.487938 2.218112 第九年末 2.218112 2.218112 第十年末 102.218112 2.218112 问题2：可投入到科研上也可投入教学中

仍将M分成M1，M2，…，Mn共n份，Mi可作为投资科研或教学，其本金与利润之和作第i 年的奖金，最后一笔除奖金外，还应留下原基金M。

由于可以投资科研也可投资教学，通过对表1与表2年平均收益率看，教学的收益率比

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科研的高，所以如果投资同一种类（同一投资期）的项目，只投资教学的就行了。故在下表中用形如（i，j）的形式表示投资方案，其中（i，j）表示先投资i年，再投资j年。

表四：教学各种投资方案 教学到期后年教学到期后年 投资方案 最佳投资方案 均最佳收益率均收益率（%） （%） 一年期 （1） 1.98 （1） 1.98 两年期 （1，1） 2.00 （1，1） 2.00 （3） 2.52 三年期 (3) 2.52 （1，1，1） 2.02 （1，1，1，1） 2.04 四年期 （3，1） 2.42 （3，1） 2.42 （1，1，1，1，2.06 1，） 五年期 （5） 2.79 （1，1，3） 2.37 （5） 2.79 （3，3） 2.61 六年期 （5，1） 2.70 （5，1） 2.70 由上表可得，在n<10年，由1， 3，5三种定期能够组成最佳策略只能有（1），（1,1），（3），（3,1），（5），（5,1）(5 ,1,1),(5,3),(5,3,1)九种，它们分别对应于n=1~9年的最佳投资策略，在n>9年时，最佳投资策略只能是首先重复在[n/5]个定期5年，剩余年限m只能是1，2，3，4，当m=1时，再投资1年定期，当m=2时，可先投资1年定期，再投资1年定期，当m=3时，再投资3年定期，当m=4时，先再投资1年定期然后再投资3年定期。

考虑每年奖金最大的使用方案：把基金M元分成n份，其中把第i（1≤i≤10）份基金Mi投资期限为i年，那么只有当Mi按最佳投资策略投资i年后的本金与收益金的和作为该年的奖金数，并且把基金Mn按最佳投资策略投资n年后的本金与收益金的和等于当年的奖金数与原基金M之和时，每年发放的奖金数将达到最大值。则可列出n=1~10年的等式：

M1(1+1. 98%) =Y

M2(1+1.98%)(1+1.98%)=Y M3(1+3×2.52%)=Y

M4(1+1.98%)(1+3×2.52%)=Y M5(1+5×2.79%)=Y

M6(1+5×2.79%)(1+1. 98%)=Y

M7(1+1.98%)(1+1.98%) (1+5×2.79%)=Y M8(1+3×2.52%)(1+5×2.79%)=Y

M9(1+1.98%)(1+3×2.52%)(1+5×2.79%)=Y M10(1+5×2.79%)(1+5×2.79%)=YM

MiM

i110经计算知，当n=10, M=100万元基金时，投资教学最佳的投资方案的奖金：Y=2.626474

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万元。

表五：Mi值及其投资i年的最佳投资策略 资金数额（万元） 最佳投资策略 2.575480 （1） M1 2.525475 （1，1） M2 2.441868 （3） M3 2.394458 （3，1） M4 2.304935 （5） M5 2.260183 (5,1) M6 2.216301 (5，1，1) M7 2.142930 （5，3） M8 2.101323 （5，3，1） M9 79.037055 （5，5） M10 表六：M=100万元，n=10年投资教学基金使用最佳方案（单位：万元） 投资一年投资三年投资五年投资到期本每年奖金数额 定期 定期 定期 利和 第一年初 5.100955 4.836326 90.062727 第一年末 2.575480 5.201954 2.626474 第二年末 2.626474 2.626474 第三年末 2.575480 5.201954 2.626474 第四年末 2.626474 2.626474 第五年末 5.100955 4.836326 90.062724 102.626474 2.626474 第六年末 2.575480 5.201954 2.626474 第七年末 2.626474 2.626474 第八年末 2.575480 5.201954 2.626474 第九年末 2.626474 2.626474 第十年末 102.626474 2.626474 问题三：基于百年校庆的最佳投资模型求解

设学校希望将校庆年度的奖金比其他年度的奖金在其基础上提高q,用Y'表示第一年发的奖金金额，仍将M分成n份，分别记为M1，M2，…, Mn。用Ri表示一元钱投资科研或教学按最佳投资策略i年，到期可获得最大利润与本金之和。则可列出如下等式: RiMiY' n=1, 2,…,n-1, i≠4 (1) R4M4=(1+q) Y' (2) RnMnY'M (3)

MiM (4)

i110由（1）～（4）式得到：

YY' (5)

T 其中

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T1q1R4i1Rin (6)

Mi1Y' i=1，2，…,n-1, i≠4 (7) Ri1q M4Y' (8)

R41n11qMRiR4Mn•ni1 (9)

1qRnRiR4i1通过问题二可知，教学的收益率比科研的高，所以如果投资同一种类（同一投资期）的

项目，只投资教学的利润将最高，则投资方案如下表所示

表七：基于百年校庆的最佳投资模型 M=100万元 q30% n10年

项目 i值 一年期 两年期 三年期 四年期 五年期 六年期 七年期 八年期 九年期 十年期 教学到期后年最佳投资方案 均最佳收益率（%） （1） 1.98 （1，1） 2.00 （3） 2.52 （3，1） 2.42 （5） 2.79 （5，1） 2.70 （5，1，1） 2.64 （5，3） 2.82 (5，3，1) 2.78 (5,5) 2.99 Ri 值 1.0198 1.0400 1.0756 1.0969 1.1395 1.1621 1.1851 1.2256 1.2499 1.2985 把M=100万元，q30%，n10年及表五中每年的Ri值代入式（5）～（9）得出表八数据：

表八: Mi值及其奖金Y'值 项 i值 1 2 3 4 5 6 7 8 Mi值 2.497444 2.448954 2.367881 3.018363 2.235097 2.191701 2.149148 2.078000 Y'值 2.546893 第7页 基金最佳使用计划的模型

9 2.037654 10 78.975766 表九：基于百年校庆的最佳投资模型 M=100万元，n=10年（单位：万元） 存一年定存三年定存五年定投资到期本每年奖金数额 期 期 期 利和 第一年初 4.946398 5.386244 89.667366 第一年末 2.497444 5.044337 2.546893 第二年末 2.546893 2.546893 第三年末 3.246551 5.793444 2.546893 第四年末 3.310961 3.310961 第五年末 4.946398 4.689788 89.992885 102.546893 2.546893 第六年末 2.497444 5.044337 2.546893 第七年末 2.546893 2.546893 第八年末 2.497444 5.044337 2.546893 第九年末 2.546893 2.546893 第十年末 102.546893 2.546893 四、结论

本文给出了两种优化基金投资方案，得到了每年奖金金额与投资期限n的关系，并求出了在n=10年，M=100 万元的情况下，基金的最佳使用方案。在可投入到科研上也可投入教学时，通过比较知，将基金只投资教学，将是基金的最佳使用方法;在第四年校庆时奖金数额比其他年多30%的问题分析方法和模型的解决方法与前相同。

五、模型优缺点分析

为了让基金能投资更长的时间以增高利润，在基金到位一年后才发放奖金，这在现实中是有它的实际有意的。

我们在模型中并没有涉及月份投资的情况，但在实际中月份投资的影响是不可忽略的，这是我们模型的不足之处。 参考资料：

[1] 朱道元.学模型精品案例.南京：东南大学出版社，1999 [2] 姜启源.数学模型【M】.北京：高等教育出版社，1998 [3] 李少猛，赵玉庆，徐晶.工程数学学报，2002

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