《三角形的证明》测试与答案

一、精心选一选，慧眼识金（每小题2分，共20分）

1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配.

A. ① B. ② C. ③ D. ①和② 2．下列说法中，正确的是（ ）. A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等

3．如图2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（ ）.

A．4cm B．5cm C．8cm D．34cm

4．如图3，在等边ABC中，D,E分别是BC,AC上的点，且BDCE，AD与BE相交于点P，则12的度数是（ ）.

A．45 B．55 C．60 D．75

5．如图4，在ABC中，AB=AC，A36，BD和CE分别是ABC和ACB的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（ ）.

A．9个 B．8个 C．7个 D．6个

00000

6．如图5，l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处

7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：① △ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ AC＝DN. 其中，正确结论的个数是（ ）.

A．3个 B．2个 C． 1个 D．0个

8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E 在同一条直线上（如图7），可以证明ABC≌EDC，得ED=AB. 因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定ABC≌EDC的条件是( ).

A．ASA B．SAS C．SSS D．HL 9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的 位置，BE交AD于点F.

求证：重叠部分（即BDF）是等腰三角形. 证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC

又∵BDE与BDC关于BD对称，

∴ 23. ∴BDF是等腰三角形.

请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）.

①12；②13；③34；④BDCBDE A．①③ B．②③ C．②① D．③④ 10.如图9，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）作线段 BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形.

上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.

图8

A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 二、细心填一填，一锤定音（每小题2分，共20分）

1．如图10，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是____________.

0BAC90,ABAC，分别过点B,C作经过点ARtABC2．如图11，在中，

的直线的垂线段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为_______.

3．如图12，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC等于_________度.

4．如图13，在等腰ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若BCE 的周长为50，则底边BC的长为_________.

5．在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50，则底角B的大小为________.

6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)

7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________.

8．如图15，在ABC中，AB=AC，A120，D是BC上任意一点，分别做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么DE+DF= _______cm.

00

9．如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE4，则AC_______ .

10．如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材， 由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？ 三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）

1．（7分）如图18，在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高， A30. 求证：AB= 4BD.

2．（7分）如图19，在ABC中，C90，AC=BC，AD平分CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm. 你能否求出BDE的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.

3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点， BE与CD相交于O点. 现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC； ③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.

(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 (均填序号). (2)证明你写出的命题. 已知：

求证： 证明：

000

4．（8分）如图21，在ABC中，A90，AB=AC，ABC的

平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E.

CE1BD2.

0求证：

5．（8分）如图22，在ABC中，C90.

（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等.

（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数.

6．（8分）如图23，AOB90，OM平分AOB，将直角三角板的顶 点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问 PC与PD相等吗？试说明理由.

四、拓广探索（本大题12分）

如图24，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，

0A40交BC的延长线于点M，若.

00图23

（1）求NMB的度数；

（2）如果将（1）中A的度数改为70，其余条件不变，再求

NMB的度数；

0图24

（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；

（4）若将（1）中的A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？

答案：

一、精心选一选，慧眼识金 1．C； 2．B；

3．D．点拨：BC=BE=3cm，AB=BD=5cm； 4．C．点拨：利用ABD≌BCE； 5．B；

6．D．点拨：三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件； 7．B．点拨：① ②正确； 8．A； 9．C；

10．C．点拨：在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符.

二、细心填一填，一锤定音 1．答案不惟一.如ACBDBC； 2．7厘米. 点拨：利用ABD≌CAE； 3．30；

4．23．点拨：由BECEACAB27，可得BC502723； 5．70或20.点拨；当ABC为锐角三角形时，B70；当ABC为钝角三角形时，B20；

6．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理；

15cm47．. 点拨：设CDx，则易证得BDAD10x.在RtACD中，

00000(10x)x5，解得

222x154.

08．10．点拨：利用含30角的直角三角形的性质得，

DEDF11BDCDBC22.

9．2. 点拨：在RtAEC中，AEC30，由AE=BE= 4，则得AC=2； 10．16．点拨：AB=26米，AC+BC=34米，故少走8米，即16步. 三、耐心做一做，马到成功

1．∵ACB90，A30，∴AB=2BC，B60. 又∵CD⊥AB，∴DCB30，∴BC=2BD. ∴AB= 2BC= 4BD. 2．根据题意能求出BDE的周长.

∵C90，DEA90，又∵AD平分CAB，∴DE=DC.

在RtADC和RtADE中，DE=DC，AD=AD，∴RtADC≌RtADE（HL）. ∴AC=AE，又∵AC=BC，∴AE=BC.

∴BDE的周长DEDBEBBCEBAEEBAB. ∵AB=6cm，∴BDE的周长=6cm. 3．（1）①，③；②，④.

（2）已知：D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点，且

AB＝AC，∠ABE＝∠ACD. 求证：OB＝OC，BE＝CD.

证明：∵AB=AC，∠ABE＝∠ACD，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（ASA）.∴BE=CD. 又∵ABCACB，∴BCDACBACDABCABECBE

∴BOC是等腰三角形，∴OB＝OC. 4．延长CE、BA相交于点F.

00EBFF90,ACFF90∵，∴EBFACF.

0000000在RtABD和RtACF中，∵DBAACF，AB=AC， ∴RtABD≌RtACF（ASA）. ∴BDCF. 在RtBCE和RtBFE中，∵BE=BE，EBCEBF， ∴RtBCE≌RtBFE（ASA）. ∴CEEF. ∴

CE11CFBD22.

5．（1）图略. 点拨：作线段AB的垂直平分线.

（2）连结BP. ∵点P到AB、BC的距离相等， ∴BP是ABC的平分线， ∴ABPPBC.

又∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∴AABP.

1AABPPBC9003003∴.

6．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.

00∵OM平分AOB，点P在OM上，∴PE=PF. 又∵AOB90，∴EPF90.

∴EPFCPD，∴EPCFPD. ∴RtPCE≌RtPDF（ASA），∴PC=PD.

四、拓广探索

CB. ∴（1）∵AB=AC，∴BAB111800A180040070022.

0000∴NMB90B907020.

（2）解法同（1）.同理可得，NMB35. （3）规律：NMB的度数等于顶角A度数的一半. 证明：设A.∵AB=AC，∴BC，∴

0∵BNM90，∴

0B118002.

NMB900B90011180022.

即NMB的度数等于顶角A度数的一半.

（4）将（1）中的A改为钝角，这个规律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半.