(25分钟·50分) 一、选择题(每小题4分,共16分)
1.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为 ( )
A.π B.4π C.4π D.6π
【解析】选B.利用截面圆的性质先求得球的半径长.如图所示,设截面圆的圆心为O′,M为截面圆上任一点,
则OO′=,O′M=1,
所以OM==,即球的半径为,
所以V=()=4
3
π.
2.(2019·济南高一检测)圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是 ( )
A.π B.2π C.π D.π
【解析】选D.上底面半径r=1,下底面半径R=2. 因为S侧=6π,设母线长为l,则π(1+2)l=6π,
所以l=2,所以高h==,
所以V=π (1+1×2+2) ·
22
=π.
- 1 -
3.等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是 ( ) A.S正方体>S球 C.S正方体=S球
B.S正方体 33 ,R=, 所以S正方体=6a=6 2 =, S球=4πR= 2 <. 4.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选D.截去的每个小三棱锥的体积为××××=×,则剩余部分体积 V=1-××8=1-=. 二、填空题(每小题4分,共8分) 5.一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径,则这个圆柱的体积与球的体积的比值为________. 【解析】代入圆柱和球的体积公式求比即可.设球的半径为r,则圆柱的底面半径是r,高是2r, 3 2 3 所以V球=πr,V柱=πr·2r=2πr. 所以V柱∶V球=2πr∶πr=3∶2=. 33 答案: 6.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V1,四棱锥 A1-BCC1B1 的体积为 V2,则=________. - 2 - 【解析】不妨设三棱柱是正三棱柱,设底面边长a和侧棱长h均为1,则 V1= S△ABC·h=×1××1=,V2=·h′=×1×1×=,所以=÷=. 答案: 三、解答题(共26分) 7.(12分)如图,圆柱的底面半径为r,球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面. (1)计算圆柱的表面积. (2)计算图中圆锥、球、圆柱的体积比. 【解析】(1)已知圆柱的底面半径为r,则圆柱和圆锥的高为h=2r,圆锥和球的底面半径为r, 则圆柱的表面积为S圆柱表=2×πr+4πr=6πr. 2 3 2 3 3 2 2 2 (2)由(1)知V圆锥=πr×2r=πr,V圆柱=πr×2r=2πr,V球=πr,V圆锥∶V球∶ V圆柱=πr∶πr∶2πr=1∶2∶3. 8.(14分)有一个倒置圆锥形容器,它的轴截面(如图)是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度. 世纪 333 - 3 - 【解析】因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径为r,则容器 内水的体积为V=V圆锥-V球=π(r)·3r-πr=πr.将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的 233 半径为h,从而容器内水的体积是V′=πh=πh3 .由V=V′得h= r. (15分钟·30分) 1.(4分)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为 ( ) A.1∶1∶1 B.1∶1∶2 C.1∶2∶4 D.1∶4∶4 【解析】选C.设棱台的高为h,S△ABC=S,则 =4S,所以 =S△ABC· h=Sh, =·h=Sh. 又V台=h(S+4S+2S)=Sh, 所以=V台-- =Sh-Sh-Sh=Sh. 所以所求体积之比为1∶2∶4. - 4 - 2.(4分)四面体ABCD中,共顶点A的三条棱两两相互垂直,且其长分别为1,点同在一个球面上,则这个球的体积为 ( ) ,3.若四面体ABCD的四个顶 A. 8π B. C.4π D.8π 【解析】选B.由题意,四面体是长方体的一个角,扩展为长方体,外接球相同,长方体的对角线就是球的直径, 3 所以球的直径为4,半径为2,即外接球的体积为πR=. 3.(4分)(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________. 3 【解析】S四边形EFGH=4×6-4××2×3=12(cm), 2 V=6×6×4-×12×3=132(cm). m=ρV=0.9×132=118.8(g). 答案:118.8 g 4.(4分)如图所示图形是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6厘米、高为20厘米的圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降________厘米. 世纪 3 - 5 - 【解题指南】因为玻璃杯是圆柱形的,所以铅锤取出后,水面下降部分实际上是一个小圆柱,这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样,是一直径为20厘米的圆,它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积,这个小圆柱的高就是水面下降的高度. 【解析】因为圆锥形铅锤的体积为×π××20=60π(立方厘米). 设水面下降的高度为x厘米,则小圆柱的体积为π××x=100πx(立方厘米). 所以60π=100πx,解此方程得x=0.6. 答案:0.6 5.(14分)如图所示,有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72 cm,要剪下来一个扇环ABCD,作圆台形容器的侧面,并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面),试求: (1)AD的长.(2)容器的容积. 世纪 【解析】(1)如图(1),设圆台的上、下底面半径分别为r cm,R cm,AD=x cm,则OD=(72-x) cm, 由题意得 解得R=12,r=6,x=36, - 6 - 所以AD=36 cm. (2)如图(2)所示,圆台的高为 h===6(cm), 所以圆台的体积 2 2 2 2 3 V=πh(R+Rr+r)=π·6·(12+12×6+6)=504 π(cm). 1.如图,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好 升高r,则=__________. 世纪 【解析】水面高度升高r,则圆柱体积增加πR·r.恰好是半径为r的实心铁球的体积,因此有πr=πRr. 2 3 2 故=. 答案: 2.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?最省材料为多少? 世纪 【解析】设圆锥的高为h cm.因为半球的半径为4 cm, 所以V半球=×π×4= 3 π, - 7 - V2 圆锥=π×4·h= πh. 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子, 则有V半球≤V圆锥, 即 π≤ πh,解得h≥8. 即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子,因为 S圆锥侧=πrl=πr=4π在[8,+∞)上单调递增,所以当h=8时, S圆锥侧最小, 所以圆锥的高为8 cm时,制造杯子最省材料,此时最省材料为16π cm2 . - 8 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容