...且对于任意的a,b∈R有f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f

发布网友 发布时间：2024-10-24 01:50

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热心网友 时间：2024-11-09 05:22

（1）令a=b=0，则f（0）=0；令a=b=1，则f（1）=f（1）+f（1）?f（1）=0…（3分）
（2）∵f（x）的定义域为R，令a=-1，b=x，则f（-x）=-f（x）+xf（-1），
再令a=-1，b=-1，则f（1）=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1）=0?f（-1）=0，
故f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数   …（7分）
（3）当ab≠0时， f(ab) ab = f(a) a + f(b) b
令 g(x)= f(x) x ，即f（x）=xg（x），则g（ab）=g（a）+g（b）?g（a n ）=ng（a）
故f（a n ）=a n g（a n ）=na n g（a）=na n-1 ?ag（a）=na n-1 f（a） ? f( a n ) n = a n-1 f(a) ，
故 f( 2 -n ) n =( 1 2 ) n-1 f( 1 2 ) ，∵ f(1)=f(2× 1 2 )=2f( 1 2 )+ 1 2 f(2)=2f( 1 2 )+1=0 ，∴ f( 1 2 )=- 1 2 ，
由 f( 2 -n ) n ＞- 1 8 (n∈ N * )? ( 1 2 ) n-1 f( 1 2 )＞- 1 8 ? ( 1 2 ) n ＜ 1 8 ? n＞3
故符合题意的最小正整数n的值为4．   …（12分）